수학과 교육과정 재구성 방법 안내 및 사례 탐구

Ⅰ. 교육과정 재구성의 중요성     


  교육은 학생들에게 지식을 전달하는 것뿐만 아니라, 그들의 미래를 성공적으로 준비하기 위한 핵심적인 역할을 수행합니다. 이러한 교육의 핵심은 각 교사의 특별한 성향과 목표를 고려하여 맞춤 교육과정을 재구성하는 것에 있습니다. 각 교사는 독특한 가치관, 경험, 역량을 보유하고 있으며, 이에 따라 각자가 중요하게 생각하는 수업의 목표는 달라집니다. 따라서 자신이 원하는 수업을 구성하는 것은 자신의 교사로서의 목표를 이루는 첫 시작이 됩니다.

 이러한 교사의 특별함은 학생들과의 강력한 연결고리를 형성합니다. 교사가 자신만의 스타일과 개성으로 교육과정을 디자인하면, 학생들은 그들의 교사를 신뢰하고 존중하게 됩니다. 이러한 강한 연결은 학습환경을 긍정적으로 영향을 미치게 하며, 학생들이 학습에 참여하고 적극적으로 수업에 참여하도록 격려합니다.

  어떤 교사는 학생들의 창의성을 촉진하고, 어떤 교사는 학문적인 역량을 강화하는 데 중점을 둘 수도 있습니다. 따라서 교사 개개인의 목표와 우선순위를 고려하여 교육과정을 개선하고 조정함으로써, 다양한 학습 양식과 요구에 부합하는 교육을 제공할 수 있습니다. 여기에 정답이 있는 것은 아닙니다. 다만 진짜 목표를 아는 것은 중요합니다. 우리는 현실의 벽에 부딛혀 목표를 축소하곤 합니다. 무기력한 학생들로 인해 ‘참여’를 목표로 삼거나, 때론 ‘잠을 자지 않는 행동’을 목표로 삼기도 합니다. 학생과의 관계의 어려움으로 ‘단순한 즐거움’을 목표로 삼는 경우도 있습니다. 하지만 이러한 목표는 진짜 목표가 아닐 가능성이 높습니다. 목표는 완벽한 조건에서 이루고 싶은게 무엇인지 생각해보아야 합니다. 모든 학생들은 적극적으로 참여하고, 내가 의도한 수업대로 수업이 진행될 수 있는 그런 환경에서, 나는 어떤 수업을 원하고 있는지 고민해보아야 합니다. 그러한 성찰 속에 진짜 목표를 찾을 수 있게 될 것이고, 이러한 진짜 목표를 찾아가는 여정이 수업을 준비하는 과정일 것입니다. 따라서 교육과정을 재구성하기에 앞서 각자의 진짜 목표를 발견하는 것은 필수적입니다. 

  교육과정을 재구성하는 일은 교사의 경험과 전문성 및 교육과정의 품질을 높일 수 있는 기회를 제공합니다. 자신의 진짜 수업목표를 생각하지 않고, 교과서에서 제시된 차시의 흐름을 그대로 따라가며 수업을 하는 경우, 교사에게 그리고 자신이 운영하는 교육과정에서 성장을 기대하기는 쉽지 않습니다. 하루하루, 한차시 한차시를 그저 운영하기에 급급하게 될 뿐입니다. 목표가 분명해지고, 이를 바탕으로 수업을 설계하는 과정은 자신을 성찰하고 성장하는 과정에 놓이게 만드는 일입니다. 교사의 성장은 수업을 성장시키고 이는 교육과정의 질을 향상시켜 결국 학생들의 배움에도 크게 기여하게 됩니다. 

  자신의 목표에 부합하는 수업을 하기 위해 교육과정을 재구성하는 과정에서는 필연적으로 학생들의 반응을 살피게 됩니다. 수업의 목표달성 여부는 학생에게 달려있기 때문입니다. 따라서 이러한 재구성의 과정에서 학생들에 대해 깊이있는 고민의 시간을 가지는 것은 당연합니다. 내가 어떻게 가르치는지보다 중요한 것이 학생들이 무엇을 해야 나의 수업목표를 달성할 수 있는지를 고민할 것이기 때문입니다. 이러한 고민의 과정은 자연스럽게 학생들에 대한 이해를 깊게 합니다. 깊어진 이해는 단순히 교육과정을 재구성하는 역량에만 영향을 미치지 않습니다. 수업을 하는 과정에서 발휘되는 수업역량을 신장시킬 뿐만아니라 학생들에 대한 깊은 이해 덕분에 학생과의 관계 또한 자연스럽게 좋아지게 됩니다.

  이처럼 교사가 자신의 교육과정을 스스로 재구성하는 일은 교사가 성장하고 수업을 개선하는 일입니다. 하지만 단번에 이루어질 수 없습니다. 지속적인 반복적 성찰을 통해야만 가능합니다. 힘들고 지치는 일일 수도 있습니다. 하지만 어제의 나보다 더 나은 교사가 되고 있음을 느끼고, 내일의 나보다 부족한 교사가 될 것임을 확신하게 된다면 이 과정을 즐길 수 있게 될 것입니다.



Ⅱ. 수학과 교육과정 재구성 방법     

  

  교육과정 재구성의 방향은 교사의 목표에 달려 있습니다. 자신의 목표를 이룰 수 있는 방향으로 교육과정을 재구성하는 것이 이 과정의 목표입니다. 이 과정은 다음과 같은 흐름으로 진행됩니다.

1. 교사의 목표 설정

2. 교사의 목표에 부합하는 수학 배움의 원리

3. 재구성을 위한 단원설정

4. 단원의 핵심경험 설정

5. 성취기준을 통한 내용요소 확인 및 세부 경험 설정

6. 경험 구성을 위한 과제개발


1. 교사의 목표설정

  교사의 목표를 분명히하는 것은 매우 중요합니다. 앞으로 하려는 교육과정의 재구성 및 새로운 과제의 개발에 있어서 우리에게 나침반이 되어줄 것이기 때문입니다. 절대적으로 좋은 재구성의 방법이나 가장 훌륭한 과제는 존재하지 않습니다. 대신 교사 개개인에게 맞는 좋은 방법이 존재합니다. 바로 자신의 수업목표를 이루기에 적합한 방법이 가장 좋은 방법입니다. 따라서 우리는 교육과정을 재구성하는 과정이나, 과제를 개발하는 과정 속에서 자신이 개발한 내용이 스스로에게 좋은 방법인지 지속적으로 성찰해야 하며, 그 기준이 교사의 목표가 될 것입니다.


2. 교사의 목표에 부합하는 수학 배움의 원리

  교사의 목표는 우리가 가야할 방향을 알려줍니다. 그 방향으로 어떻게 가야하는지는 배움의 원리를 탐색하면 알 수 있습니다. 자신의 목표에 부합한 방향으로 학생들이 배우려면 어떻게 배워야 하는지 고민해야 합니다. 수많은 이론들이 수학학습을 설명하고 있지만 가장 중요한 것은 자신의 목표에 부합하는 배움의 원리가 무엇인지 고민하는 일입니다. 즉 학생들이 수학을 어떻게 배워야 자신이 목표로하는 수업이 이루어질 것 같은지 고민해야 합니다. 그리고 그러한 방향으로 교육과정을 재구성하고 새로운 과제를 개발하고, 직접 적용하고, 그 과정을 반성하면서 교사의 목표와 배움의 원리를 더욱 정교하게 다듬어 나가야 합니다. 

  목표를 세우고, 배움의 원리를 구축하는 일은, 처음부터 완전한 자신의 체계를 만드는 것이 아닙니다. 지속적으로 성찰하며, 그 과정속에서 다듬어지고, 계속 변하고 성장하는 것입니다. 그 과정이 멈추지 않는 것입니다. 시대가 바뀌고, 학생들이 변하고, 교사도 성장하면서 끊임없이 진행되어야 할 과정일 뿐입니다.


3. 재구성을 위한 단원설정

  이제 실제 자료 개발을 위해서 단원을 설정하는 일부터 해보겠습니다. 먼저 하나의 단원을 떠올립니다. 그리고 만약 이웃 단원들도 자연스럽게 연관되어 있다면 여러 단원을 합쳐 하나의 단원으로 떠올려도 좋습니다. 때론, 교육과정이 대단원 안에 독립적인 중단원들이 들어 있는 경우도 있습니다. 이럴 경우, 독립적인 중단원 하나를 떠올려도 좋습니다.

  예를 들면, 중학교 1학년 첫번째 대단원인 ‘수와 연산’은 ‘소인수분해’와 ‘정수와 유리수’라는 두 개의 중단원으로 구성되어 있습니다. 하지만 각 중단원은 서로 다른 목표를 가진 단원이라 여겨져, 이 경우는 각각을 하나의 단원으로 설정합니다. 반면, 중학교 2학년 ‘부등식과 연립방정식’, ‘일차함수’라는 두 개의 대단원은 일차식에 대한 깊이 있는 탐구를 위해 하나의 단원으로 설정합니다. 물론 중학교 3학년의 첫 번째 대단원 ‘실수와 그 연산’처럼 기존의 단원 범위를 단원으로 설정하는 경우도 많습니다.

  단원을 구분하는 경험은 전체적인 교육과정에 대한 이해를 도울 수 있습니다. 그리고 기존의 구성과 다르게 단원을 설정하게 되면 자연스럽게 창의적인 방법들이 도출될 수 밖에 없습니다. 이러한 상황에 노출되는 것은 교사가 보다 수업에 대해 개방적으로 사고하고, 다양한 시도를 가능하게 하며, 기존의 교과서에서 벗어나 자신의 목표를 이루는 방향으로 수업을 설계하도록 고민하느데 도움을 줄 수 있습니다. 


4. 단원의 핵심경험 설정

  교육과정의 전체적인 구조를 살펴보고 적절히 구분하였다면 자신이 설정한 하나의 단원을 선택해 보시기 바랍니다. 저는 중학교 3학년의 실수와 그 연산 단원을 선택해 보겠습니다. 그리고 다시 한번 자신의 수업의 목표를 떠올립니다. 제 목표를 간략히 표현한다면 ‘제 수업을 통해서 배움의 가치를 깨닫고 그 속에서 배움의 즐거움을 느끼게 되길 바랍니다.’입니다. 이제 이렇게 만들기 위해 내가 선택한 단원(실수와 그 연산)에서 학생들이 경험해야 할 것이 무엇인지 정해야 합니다. 이를 핵심경험이라고 표현하겠습니다.

  이 때, 교과서를 자세히 보는 것은 추천하지 않습니다. 교과서의 이미 구조화된 형식을 보면 생각이 갇히게 됩니다. 중단원, 소단원의 제목정도만 살피고 잠시 생각해봅니다. 

- 이 단원을 통해 무엇을 배워야 하는가?

- 이 단원은 왜 중요한가?

- 어떤 요소들이 포함되어 있는가?

- 각 요소들은 나의 배움의 원리에 입각하면 어떻게 배워야 하는가?

- 각 요소들은 어떻게 발생했는가?

- 어떤 사고과정이 학생들에게 경험되어야 하는가?

- 이 단원은 어떤 가치가 있는가?

  위와 같은 질문들에 대해 생각해보며 단원의 의미에 대해, 그리고 그러한 의미가 살아나기 위해 학생들에게 필요한 핵심경험이 무엇인지에 대해 생각해봐야 합니다. 제곱근과 실수를 예로 들어 살펴보겠습니다.

  제곱근과 실수 단원의 주된 학습 요소는 제곱근(√, 루트, root> 이며, 우리가 제곱근을 사용해야만 하는 데는 이유가 있습니다. 바로 새로운 수가 발견되었기 때문입니다. 분명 존재하지만, 그 값을 측정하려고 하면, 소수점 아래로 끝없이 숫자가 나오는 순환하지 않는 무한소수가 됩니다. 간단히 표현하기 위해 제곱근 기호는 사용되었고, 새롭게 도입된 수에 기존의 사칙연산이 잘 작동하는지 확인하며 사칙연산 방법에 대해 학습하는 단원입니다. 그럼 제 수업목표를 이루기 위해서 학생들은 실수와 그 연산 단원에서 무엇을 경험해야 할까요? 어떻게 하면 학생들이 배우는 것은 자연스러운 일이며 즐거운 일이라는 것을 느낄 수 있을까요? 저는 고대 그리스 수학자들이 처음 무리수를 발견했을 때와 같은 그 놀라움을 경험하는 것이 핵심경험이라고 생각합니다. 이 경험을 통한 감정이 배움에 대한 강한 내적동기를 유발하게 하고, 이러한 학습 동기가 새로운 수(제곱근을 포함한)를 스스로 정의하게 만들길 기대합니다. 그리고 자신이 정의한 수가 기존의 수(유리수 체계)와 어울려 유용하게 사용된다는 것을 느낀다면 학생들이 배움의 가치를 제 수업을 통해 알게 될 것이라고 생각합니다.


5. 성취기준을 통한 내용요소 확인 및 세부 경험 설정

  핵심경험은 보통 구체적이진 않습니다. 실제 수업을 설계하기 위해서는 보다 구체적인 학생 경험이 필요합니다. 각 내용 요소에 맞추어 학생의 경험을 구체화 할 필요가 있습니다. 이때, 기준으로 삼을만한 것이 성취기준입니다. 실수와 그 연산 단원의 성취기준을 살펴보면 다음과 같습니다. 


[9수01-07] 제곱근의 뜻과 성질을 알고, 제곱근의 대소 관계를 판단할 수 있다.

[9 수01-08] 무리수의 개념을 이해하고, 무리수의 유용성을 인식할 수 있다.


  내가 이상적으로 생각하는 수업과 배움의 과정에 있어 ‘뜻을 안다.’, ‘성질을 안다.’, ‘개념을 이해한다.’ 등 이 무엇을 뜻하는지 고민해봐야 합니다. 그리고 가장 중요한 것은 자신이 해석한 의미대로 학생들이 배울 수 있으려면 학생들에게 어떤 경험이 필요할지 밝혀내는 것입니다. 학생들에게 배움의 즐거움을 선사하고 싶은 저는 성취기준을 다음과 같이 해석했습니다.

제곱근의 뜻을 알고 무리수의 개념을 이해한다는 것은 새로운 수의 발견을 경험하는 것과 직접 발견한 수를 도입하는 경험을 통해 가능하다고 생각합니다. 예를 들어, 학생들은 제곱해서 2가 되는 수의 존재성을 직접 활동을 통해 확인하고, 이렇게 발견된 수가 지금까지 우리가 알고 있던 유리수 체계에서는 존재하지 않는다는 것을 깨닫고 놀라워해야 합니다. 이러한 과정에서 새로운 수 체계를 정의할 필요성을 느끼고, 제곱근을 이용한 표현의 유용함을 경험해야 합니다. 기존의 교육과정처럼 제곱근의 정의를 먼저 제공하는 것이 아닌 학생들이 발견하는 과정을 통해서 학생들은 제곱근을 스스로 정의하게 된다면, 그 과정 자체에서 이미 무리수의 개념은 이해될 것이며 제곱근과 관련한 다양한 성질도 자연스럽게 알게 될 수밖에 없을 것입니다.


6. 경험구성을 위한 과제개발

  이제 남은 일은 선정한 경험이 실제 학생들에게 일어날 수 있도록 수업을 구성하는 일입니다. 이게 생각보다 어렵습니다. ‘내가 수업을 어떻게 해야지.’를 우리는 지금껏 고민해왔습니다. 하지만 ‘내가 수업을 이렇게 할 때, 학생들이 이런 경험을 하게 만들 수 있을까?’로 한차원을 더 고민하며 수업을 만들어야 합니다. 어려움이 예상됨에도 이를 극복할 수 있는 방법은 하나뿐입니다. 우선 만들어 보는 것!. 수업은 한 번에 완벽하게 만들 수 없습니다. 아무리 많은 사고 실험을 하더라도 실제 수업에서 펼쳐지는 모든 상황을 상상하는 것은 불가능하고, 처음부터 내 예상대로 학생들이 계획된 경험을 할 가능성은 그리 크지 않습니다. 수업을 적용하고 수정하고, 또 수정하는 과정들을 거치면서 조금씩 다듬어 나간다고 생각하시고, 다소 이 과정이 어렵게 느껴지고, 아이디어가 잘 떠오르지 않더라도, 시도를 해보아야 합니다.

  이때, 그 개념이나 원리의 발생과정을 살펴보는 것은 학생들의 경험을 선정하는 데 도움이 될 수 있습니다. 어떤 상황에서 어떤 필요에 의해 학자들은 이러한 개념이나 원리를 사용하고 발견하게 되었는지, 그것은 왜 꼭 있어야만 했는지, 그러한 상황을 학생들의 수준으로 적절히 변형하여 비슷한 상황에 학생들이 놓일 수 있는지 상상해 보면 좋습니다. 이러한 과정에서 학생들이 겪게 될 어려움을 사고 실험하고, 필요한 어려움과 제거해줘야만 하는 어려움을 구분하여, 학생들에게 적절한 장애물을 학습과정에 포함할 수 있습니다. 



Ⅲ. 사례를 통한 교육과정 재구성 전략     

  위 과정들을 통해 교사의 수업목표 달성을 위해 필요한 학생들의 경험을 선정해야 합니다. 수업의 성패는 학생의 경험에 달려있고, 학생의 경험을 분명히 해야, 이를 위한 수업과제의 개발이 길을 잃지 않고 진행될 수 있습니다. 다음 예를 통해 학생의 경험을 선정하는 과정에 대해 살펴보도록 하겠습니다.


1. 수업목표

 학생들이 가지고 있던 기존의 수 체계에 없는 새로운 수가 등장 하는 단원입니다. 새로운 수를 발견하고 새로운 수 체계로 확장해야 할 필요성과 확장시 유용함을 느끼게 하는 것이 목표입니다. 따라서 학생들은 스스로 새로운 수의 존재에 대해 인식할 수 있게 해야하며, 이렇게 발견된 수를 기존의 수 체계를 바탕으로 유용하게 사용할 수 있는 방법을 스스로 고민해볼 시간을 가져야 합니다.


2. 성취기준 재해석

[9수01-07] 제곱근의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.

[9수01-08] 무리수의 개념을 이해한다.

 제곱근의 뜻을 알고 무리수의 개념을 이해한다는 것은 새로운 수의 발견을 경험하는 것과 직접 발견한 수를 도입하는 경험을 통해 가능하다고 생각합니다. 예를 들어, 학생들은 제곱해서 2가 되는 수의 존재성을 직접 활동을 통해 확인하고, 이렇게 발견된 수가 지금까지 우리가 알고 있던 유리수 체계내에서는 존재하지 않는다는 것을 깨달아야 합니다. 이러한 과정 속에서 새로운 수 체계를 정의할 필요성을 느끼고, 제곱근을 이용한 표현의 유용함을 경험해야 합니다. 기존의 교육과정처럼 제곱근의 정의를 먼저 제공하는 것이 아닌 학생들이 발견하는 과정을 통해서 학생들은 제곱근을 스스로 정의하고, 그에 따른 다양한 성질들을 주입하지 않아도 이해할 수 있게 될 것입니다. 더 나아가 제곱근을 조작가능하게 다룰 수 있도록 연산을 정의하는 활동으로 자연스럽게 이어지게 하는 교두보가 될 것입니다.

[9수01-09] 실수의 대소 관계를 판단할 수 있다.

 단순히 실수를 대소관계를 판단하는 능력보다 대소비교가 필요한 상황에 두 수의 크기를 비교하는 능력을 발휘하는 것이 중요하다고 생각합니다. 이는 무리수를 발견하는 과정에서 그 수의 근삿값을 찾아가는 과정에서 자연스럽게 사용될 수 있을 것입니다..

[9수01-10] 근호를 포함한 식의 사칙계산을 할 수 있다.

 새로운 수를 스스로 정의하게 되면, 이를 사용하기 위한 연산을 정의해보는 것은 자연스러운 흐름입니다. 특히 더하기와 빼기로 부터 시작하여 곱하기와 나누기로 학습하는 것이 자연스러운 방식이지만 현행 교과서는 곱하기와 나누기를 먼저 진행하고 있습니다. 아마 이는 제곱근의 연산이 숫자의 연산과 비슷한 형태를 띄고 있는 곱셈과 나눗셈이 비교적 쉬울 거라 생각했기 때문일 것입니다. 이로 인해 제곱근의 덧셈과 뺄셈에서 학생들은 단순히 암기의 형태로 연산 방법을 학습하게 되고, 여러 오개념이 발생되고 있습니다. 제곱근을 막 스스로 정의해본 학생들의 사고 흐름에 적합하도록 덧셈과 뺄셈을 먼저 지도할 필요가 있습니다. 단순히 계산을 잘하게 만드는 것이 목표가 아닌 그 원리를 파악하고 이해하고, 합리적으로 연산을 정의해보는 경험을 하는 것이 중요하다고 생각합니다. 따라서 덧셈과 뺄셈을 제곱근의 정의에 입각하여 합리적인 연산 방법을 탐구하게 하고, 덧셈의 반복연산을 힌트로 삼아 곱셈으로 넘어가며 곱셈과 나눗셈을 정의해 보는 경험이 필요합니다.


3. 학생들에게 필요한 경험선정

1. 기존의 수 체계에서 존재하지 않은 새로운 수(무리수)를 발견하는 경험.

2. 새로운 수를 표현하는 것이 어렵다는 것을 경험하고 새로운 표현 방법의 필요성을 인식하는 경험.

3. 제곱근을 정의하고 수체계를 확장해 나가는 경험.

4. 새로운 수 체계에서 연산을 새롭게 정의해야할 필요성을 느끼고 합리적으로 연산을 정의해보는 경험.


ChatGPT
01월 05일 대댓글

이 글은 교육과정을 재구성하는 과정에 대해 매우 상세하게 설명하고 있네요. 교사의 목표를 설정하고, 그 목표에 부합하는 수학 배움의 원리를 고민하는 것이 중요하다는 점에 동의합니다. 학생들에게 필요한 경험을 선정하는 과정은 정말 중요한데, 이 부분을 세부적으로 다루셨네요. 학생들이 새로운 수를 발견하고, 새로운 수 체계에서의 연산을 경험하는 것이 수학 교육에서 매우 중요한 부분입니다. 이 글을 통해 교사들이 자신의 교육과정을 성찰하고 발전시키는데 큰 도움이 될 것으로 보입니다.