우선 이 글은 중학생 수준에서 최대공약수와 최소공배수, 그리고 서로소를 배울 때 어떤 사고 과정을 거치는 것이 좋을지에 대한 생각을 을 말하는 글입니다. 성인이 공부한다는 생각보다 자녀를 교육할 때 사용하시는게 적합합니다!!

수학을 배울 때, 결과가 아닌 어떤 과정을 통해 배우는 것이 의미있을지에 대한 고민의 과정입니다.

그래서 지난시간 카드를 가지고 소인수분해를 하고 약수를 구해보는 활동을 진행했습니다.(1탄 내용)

이제 숫자카드를 가지고 최대공약수와 최소공배수를 구해 보게 하려고 합니다.

먼저 약수를 찾아보는 활동을 진행합니다.

위 4개의 숫자는 모두 소수인 숫자카드가 모두 6장씩 필요한 숫자들입니다.

다음과 같이 필요하죠!

직접 카드를 만들어 약수를 빠짐없이 구해보는 활동을 진행합니다.

그리고 이제 본격적으로 최대공약수를 구해보겠습니다.

네 수 중 두 수를 선택하겠습니다. 

504와 900을 택해보겠습니다.

504와 900을 숫자카드로 놓으면 위와 같이 카드를 놓을 수 있겠죠?

이제 생각해보게 합니다. 최대공약수를 구하는 방법을 알려주는 것이 아닌 생각하게 하는게 핵심입니다.

공약수는 두 수의 약수 중 공통인 수를 말합니다.

그런데 각각의 약수는 각각의 카드 더미에서 뽑을 수 있는 카드의 경우의 수와 같습니다.

예를 들어 왼쪽 카드더미에서 2, 3카드를 선택할 수 있으니 6은 504의 약수가 되는 것이죠.

그럼 공약수는 무슨 의미일까요? -> 이런 질문을 아이에게 하는 것이죠.

양쪽 카드에서 공통으로 꺼낼 수 있는 숫자 카드가 두 수의 공약수가 됩니다.

이제부터 각 숫자 카드별로 뽑을 수 있는 경우를 생각합니다.

왼쪽에서 2카드 2장 오른쪽에서도 2카드 2장을 뽑아낼 수 있죠. 그러나 3장은 뽑을 수 없죠. 3장을 뽑으면 504의 약수는 되지만 900의 약수는 되지 않을테니까요.

이런 생각을 하는게 필요합니다. 

나중에 소인수분해된 두 수의 최대공약수를 구하는 과정에서의 핵심적인 사고거든요.

밑이 같은 수 중에 지수를 비교하는데, 이것을 학원에서는 암기하듯 알려주는 경우가 많습니다. 

자녀에게 필요한 것은 공식의 암기가 아닙니다. 왜 그런 공식이 나왔을지 개념적으로 스스로 구성하는 일이 필요합니다. 이렇게 배워야 기억이 오래갈 뿐만아니라 학습 과정자체게 지적능력의 성장을 이끌 수 있습니다.

공약수에 대한 생각이 정리되면, 이제 최대공약수를 찾아야겠죠? 아마 이건 오히려 간단하게 알게될 것입니다.

양쪽에서 뽑을 수 있는 카드 중 가장 많이 뽑는 것이 공약수 중 가장 큰 수라는 것을 확인할 수 있을 것이기 때문입니다.

최소공배수도 마찬가지로 카드를 이용해 보면 됩니다.

배수는 카드로 설명하면 어떻게 설명할 수 있을까요? -> 아이들에게 이렇게 물어보세요.

더 많은 카드를 가지면 모두 배수가 됩니다.

이런 생각에서 출발하여 공배수는 무엇일지 생각하면, 두 숫자카드 더미보다 더 많은 숫자카드를 갖게 만들면 됩니다.

이런 사고로 최소공배수에 접근하기 위한 몇 가지 접근 방법이 있을 수 있지만 하나만 소개한다면

먼저 두 수에 포함된 카드를 모조리 합치는 겁니다.

즉 504와 900을 곱하는 것이죠. 이는 분명 두 수의 공배수가 됩니다.

위에 올려진 숫자카드들이 두 수의 숫자카드를 모두 합친 것입니다.

이제 최소공배수를 구하려면 어떻게 해야할까요? 

왼쪽 숫자카드(504)를 모두 가지면서도 오른쪽 숫자카드도 모두 가지고있는, 

동시에 가장 적게 가지도록 만들어야겠죠?

이때도 이제 각각 숫자카드별로 접근하게됩니다. 이렇게 원래 주어진 수가 아닌 분해된 소수로 배수와 약수를 판별하는게 소인수분해의 필요이자 핵심입니다. 카드가 이러한 생각을 쉽게 접근가능하다 생각하기에 카드로 조작하며 수업합니다.

2카드를 보면 504는 3장 900은 2장을 가지고 있습니다.  두 수의 배수가 되어야 하므로, 504와 900이 가진 카드보다는 더 많이 가져야 하겠죠?

따라서 적어도 3장은 가져야 두 수의 공배수가 될 자격이 되는 것입니다.

이렇게 접근한다면 최소공배수를 구하는 것이 어렵지 않으시겠죠?^^ 정답보다 이런과정에서 충분히 이야기나누고 토론하는 것이 중요한 과정이라는 것을 항상 잊지 않으시면 좋겠습니다.

카드로 충분히 활동을 추가적으로 해보고, 다음과 같은 문제를 제공합니다.

이거 의도가 있는 것입니다.

제

의

도

를

말

씀

드

리

기

전

에

한

번

추

측

해

보

세

요.

아셨나요?^-^

오른족은 특별합니다!

최대공약수가 모두 1이고,

최대공약수가 모두 1이면 자연적으로 최소공배수는 두 수의 곱이 최소공배수가 됩니다.

편리한 성질이잖아요?

이럴 때 이름을 붙이는 겁니다.

수학용어는 사실 이러한 맥락이 존재합니다. 대부분 필요에 의해 만들어지지요.

이런 두 수를 '서로소'라고 합니다.

이렇게 학생들이 수학적 개념을 만나면 좋겠습니다.

서로소가 먼지 정의한 후에 서로소인지 아닌지 판별하는게 얼마나 의미가 있겠습니까? 

대신 특별함을 발견하고 특별함에 이름을 붙이는 행위는 단순히 지식을 전달받는 것이 아닌 창조의 경험을 학생 수준에서 진행되는 거라 생각합니다.

발견을 통해, 수학의 모든 것이 의미있는 것임을 아이들이 알게 되면 좋겠습니다.

이번 글은 여기서 마무리 하고, 다음 글에는

정수와 유리수! 로 넘어가 보겠습니다~